확장 표면에서의 열전달 핀 이론, Extended surface heat transfer Fin theory

확장 표면이란 일반적으로 주어진 고체를 인위적으로 면적을 증가시킴으로써 확장시킨 표면을 말한다. 이러한 확장시킨 표면을 우리는 핀, 휜, Fin이라고 부른다. 확장 표면 즉, 핀에 의해서 면적이 증가하면 대류, Convection에 의한 열전달량이 증가한다.

 

이번 포스트에서는 핀을 이용한 확장 표면에서의 열전달의 해석과 지배 방정식, 그 일반 해를 구하는 방법에 대해서 다루도록 하겠습니다.

 

 

확장 표면에서의 열전달, Heat transfer from extended surface

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실생활에서 사용되는 일반적인 기기들은 온도 변화 △T는 일정한 값(Fixed value)을 가지는 상태에서 열 전달률 q가 최대가 되게 하는 것이 관건이다.

 

예를 들어 컴퓨터 칩의 온도는 일정 이상으로 올라가면 안 되기 때문에 △T는 일정해야 하지만 에너지는 최대한으로 만들어 낼수록 유리하기 때문에 q가 최대가 되어야 한다. 따라서, 열전달 계수(Heat transfer coefficient) h를 크게 하거나 면적 A를 크게 해야 한다. 하지만 열전달 계수와 면적을 동시에 높일 수는 없다.

 

왜냐하면 열전달 계수 h는 레이놀즈 수의 함수, 즉 유량의 함수이기 때문에 면적이 크게 증가하면 오히려 열전달 계수는 감소하는 형태를 띤다. 쉽게 생각하면 면적 A를 높이기 위해서 너무 빽빽한 구조물을 형성하게 되면 유량이 줄어들게 되므로 열전달 계수 h가 감소하는 것이다.

 

대류의 열 전달식을 잘 모르겠으면 이전 포스트를 참고하시기 바랍니다.

평면 벽 전도의 열저항, 대류, 복사 열저항 Thermal Resistance Of Conduction

평면벽 전도의 열저항, 대류, 복사 열저항 Thermal Resistance Of Conduction

 

 

핀 이론, Fin theroy

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앞서 말한 듯이 대류에 의한 열전달량을 증가시키는 방법은 열전달 계수 h를 증가시키는 방법과 면적 A를 증가시키는 방법이 있다. 핀 이론, Fin theory는 면적 A를 증가시킴으로써 대류 열전달, Convection heat transfer를 증가시키는 이론이다.

 

 

핀 구조, Fin configuration

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핀 구조는 다양하게 존재하나 구분 짓는 방법은 유동의 방향을 기준으로 구분합니다.

 

직선 핀, Straight fin은 핀과 수평하게 즉, parallel 하게 유동이 일어나는 핀을 말합니다.

 

원형 핀, 핀형 핀, Pin fin은 원형의 단면을 가지기 때문에 원형을 따라 유동이 일어납니다.

 

두 형상을 비교하면 일반적으로 직선 핀이 우수한 성능을 보입니다. 핀형 핀이 단면적은 더 크게 늘리나 구조의 복잡성 때문에 유량이 줄어드는 단점이 있기 때문입니다. 하지만, 상황에 따라 바뀔 여지는 존재합니다.

 

 

핀의 열전달 해석, Fin heat transfer analysis

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위와 같이 임의의 면적을 가지는 핀이 있다고 가정하겠습니다. 이때, 에너지 보존법칙, Energy conservation에 의해서 다음과 같은 식이 성립합니다.

 

전도, Conduction를 통해서 일어나는 열전달과 표면을 통해서 일어나는 대류, Convection의 열전달을 합친 값은 일정하다.

 

앞서 배운 연속 방정식의 유도를 통해서 배운 내용에 따르면 다음과 같습니다.

연속 방정식 유도와 열전도 방정식, continuity equation derivation and heat conduction equation

연속방정식 유도와 열전도방정식, continuity equation derivation and heat conduction equation

 

위 식을 대입하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

이때, 푸리에 열전도 법칙과 뉴턴의 냉각 법칙에 의해 각각의 q를 풀어내면 다음과 같습니다.

바로 이 식이 핀 이론, Fin theory의 지배 방정식, Govern equation입니다.

 

이때, 열전도도, Thermal conductivity k와 단면적 A_c가 일정하다고 가정해보겠습니다..

k=const, A_c=const

 

위와 같이 나타낼 수 있을 것이다. 단, A_c가 일정하므로 dA_c/dx=0이지만 dA_s/dx = 조정 가능한 변수이므로 P, Parameter로 나타내도록 하겠습니다.

따라서 위와 같은 O.D.E, Ordinary differential equation, 상미 분방 정식으로 나타낼 수 있다. 즉, x에 대한 2개의 경계조건 Boundary condition이 있다면 문제를 해결할 수 있습니다.

 

이 식이 우리가 가장 많이 사용하게 될 단면적과 열전도도가 일정할 때 핀 이론의 지배 방정식이다. 앞서 배운 일반형보다 사용도가 높은 식입니다.

 

 

 

핀의 열전달 일반 해, Fin heat transfer general solution

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앞서 배운 지배 방정식을 보다 간단하게 표기하기 위해 위 식을 두 개의 새로운 문자를 사용하여 정리해보겠습니다.

위와 같이 문자를 설정하였습니다. 그러면 위 지배 방정식을 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

선형 동차 2계 미분방정식이므로 특성 방정식, Characteristic equation을 이용하여 다음과 같은 일반 해를 얻을 수 있습니다.

이제 두 개의 경계조건을 사용해야 합니다. 두 개의 경계조건은 핀의 시작 지점과 끝점을 잡습니다.

시작 지점의 경계조건 즉, x=0일 때의 경계조건은 T=T_base라 하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

그럼 끝점의 경계조건, 즉 X=L일 때는 어떻게 나타낼 수 있을까요?? 4가지의 유형이 존재합니다.

 

 

 

핀의 열전달 경계조건, Fin heat transfer boundary condition

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1. 전도, Conduction이 대류, Convection과 같습니다.

이 경우에는 반드시 열전달 계수 h가 알고 있는 값이어야 문제를 해결할 수 있습니다.

앞서 쎄타를 정의한 대로 정리하면 위와 같은 식으로 정리할 수 있다. 이제 x=0일 때의 경계조건을 먼저 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

이 첫 번째 경계조건을 적용한 쎄타를 두 번째 경계조건에 대입하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

위 식을 정리하여 우리는 C_1을 구할 수 있습니다.

위와 같이 지수가 커플형으로 이루어져 있는 경우 다음 공식을 이용하여 정리할 수 있습니다.

결과적으로 C_1은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

따라서 핀의 온도 분포를 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

이를 이용하여 핀의 열 전달률, Heat transfer rate을 계산해보면 다음과 같습니다.

너무 복잡한가요??, 이제 쉬운 조건들을 하기 위해서 힘들게 식들을 유도해놓았으니 이제부터 쉽게 갈 수 있습니다.

 

 

 

2. 단열, Adiabatic - 자주 사용합니다.

x=L인 끝점에서 온도 변화가 없는 단열 조건입니다. 이 경우 식은 굉장히 간단해집니다.

 

 

 

3. 끝점이 임의의 온도를 갖는 Constant temperature

x=L일 때, 온도 쎄타가 일정하다면 식은 온도 분포와 열 전달률 식은 다음과 같아집니다.

 

 

 

4. 무한한 길이인 경우 L=∞ - 자주 사용합니다.

실제로 길이가 무한할 수는 없으므로 이 방법이 적용되기 위해서는 종횡비, Aspect ratio가 15 이상인 경우에 사용합니다.

무한하게 멀어질 경우 쎄타의 문자 설정이 위와 같았으므로 끝점의 쎄타는 0이 됩니다. 온도 분포와 열 전달률 식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

 

 

휜, 핀의 성능 효율 저항 유용도, Fin Performance Efficiency Resistance Effective

휜, 핀의 성능 효율 저항 유용도, Fin Performance Efficiency Resistance Effective