연속방정식 유도와 열전도방정식, continuity equation derivation and heat conduction equation

연속방정식의 물리적 의미는 어떠한 물질이 이동할 때, 특정 물리량이 보존된다는 것을 서술한 방정식입니다. 질량, 에너지 등이 여기에 해당하며 에너지보존법칙, 질량보존법칙이 이 연속방정식에서 파생되었다는 것을 알 수 있습니다.

 

 

연속방정식 유도

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연속방적식 유도의 의미는 길이가 dx, 높이가 dy인 어떠한 미소체적에 A가 들어와서 나갈때에 어떻게 나타낼 수 있는지 표현 방법에 대해서 알아보는 것입니다. 즉, 아래 그림의 ?를 표현할 줄 알게되는 것입니다.

 

테일러 급수(Taylor series) 혹은 테일러 전개(Taylor expansion)란 간단하게 말하자면 도함수 즉, 변화율을 이용하여 그 근방의 함수를 표현하는 방법입니다.

또한 굉장히 복잡한 함수의 경우에도 특정한 지점 a의 근방에서 다항함수(Polynomial function)로 나타낼 수 있습니다. 왜냐하면 순간기울기 f`(a)와 평균기울기가 같다는 관계를 이용하면 쉽게 테일러 급수의 2차항까지 나타낼 수 있기 때문입니다.

 

각설하고, 다시 유도로 돌아와 테일러 급수에서 x=x+dx로 a=x로 대입하면 식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

즉 처음의 그림에서 미소체적에 A가 들어갈 경우 나오는 ?는 A+A`dx로 표현할 수 있는 것입니다.

여기까지 쉽게 따라오셨나요? 이제부터 난이도를 조금 올려서 질량유량에 대한 연속방정식을 증명해보도록 하겠습니다.

 

 

질량유량 연속방정식, mass flow continuity equation

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앞에서 구한 연속방정식 증명을 통해서 어떠한 미소체적내에 질량유량 m_dot이 들어오고 나가는 것은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

x방향과 y방향을 나누어 생각해보자.

 

1. 들어오는 것

x방향의 m_dot = pu△y이고 y방향의 m_dot = pv△x이다. 각각 x축 방향으로 들어오는 것과 y축 방향으로 들어오는 것을 의미한다.

2. 나가는 것

두 질량유량을 나타낸 식을 대입하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

위의 두 식은 각각 x축 방향으로 나오는 것과, y축 방향으로 나오는 것을 의미한다.

 

3. 시스템 변화량

질량보존의 법칙에 의해서 1번과 2번, 들어오는 것과 나가는 것을 더한 것은 시간에 따른 시스템의 변화와 같아야 하기 때문에 다음과 같이 나타낼 수 있다.

시간에 따른 시스템의 변화 = 1.들어오는 것 - 2.나가는 것 으로 나타낸 식이다. 이 식을 계산하여 항을 소거하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

일반적으로 사용하는 비압축성 유체의 경우 시간에 따른 밀도의 변화가 없기 때문에, dp/dt=0라고 하면, 다음과 같다.

 

 

열전도방정식, Heat conduction equation

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열역학 제 1법칙을 식으로 나타내면 아래와 같다.

이때 만약 내부에서 발전(generation)이 없고 정상상태(steady-state)라고 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

3차원에서 열전도를 나타낸 도형이다.

여기에 위에서 나타낸 열역학 제 1법칙을 적용하면 다음과 같아진다.

앞서 연속방정식을 증명한 것을 이용하여 나타내면 또 다음과 같다.

이때, 앞서 배운 푸리에 열전도 법칙(Fourier's law, Fick's law)을 이용하면 q_x, q_y, q_z는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

푸리에 열전도 법칙을 모른다면 이전 게시글을 참고하시면 됩니다.

푸리에 열전도 법칙, 열유속과 열전도도, Fourier's law, Heat flux and Heat conductivity

 

각각의 q에 푸리에 열전도 법칙을 통해 대입한 후 정리하면 최종적으로 식은 다음과 같다. 정상상태에서 전도를 통해 열이 들어오고 나갈 때의 에너지 보존법칙을 나타낸 것이다.

흔히 문제로 출제되는 2차원 에서의 열전도를 생각해보면 열전도도 k는 상수이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이와 같이 나타낸 후 라플라스 방정식(Laplace equation)을 이용하여 풀이하면 된다.