푸리에 열전도 법칙, 열유속과 열전도도, Fourier's law, Heat flux and Heat conductivity

열전달 즉, 온도차이에 의해서 열이 전달되는 세 가지 방법 전도, 대류, 복사 중 전도가 일어날 때, 전도 중에서도 고체(Solid)에서 전도가 일어날 때 열전달률(Heat flux)은 푸리에 열전도 법칙(Fourier's law)에 의해서 표기할 수 있다.

 

 

푸리에 열전도 법칙

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위의 식이 푸리에 열전도 법칙을 의미합니다. 열역학에서 일반적으로 푸리에 열전도 법칙은 픽의 확산 법칙(Fick's law)와 같은 의미로 사용하기도 합니다.

 

1차원(One-dimensional)에서의 열전도를 생각해보면 x축 방향으로만 열이 전달되기 때문에 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

열유속, Heat flux

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위 법칙에서 q``은 Heat flux, 열유속을 나타낸다. 열유속이란 단위시간당 단위면적에 흐르는 열의 양을 말합니다. 단위는 [W/m^2], [와트/제곱미터]를 사용하여 나타냅니다.

 

위 그림 1차원에서 단위시간당 열전달량 q는 다음과 같습니다. A_c는 단면적(cross sectional area)입니다.

단위시간당 열전달량 q를 단면적 A_c로 나누면 단위시간당 단위면적에 흐르는 열량인 열유속을 구할 수 있습니다.

 

 

열전도도, Heat conductivity

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그리고 k는 Heat conductivity, 열전도도를 나타냅니다. 열전도도란 열전도가 일어날 때 열전도가 일어나는 정도를 나타내는 물질의 성질, 물성치입니다. 단위는 [W/m*K]. [와트/미터*켈빈]을 사용합니다.

 

앞서 말했듯이 전도는 확산의 일부입니다. 따라서, 열전도도는 확산의 요인(Diffusion Property)중 하나입니다.

 

위와 같이 x축 방향으로만 일차원 열전달이 일어날 경우 푸리에 열전도 법칙은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

길이 L이 일정하고, 열유속 q``가 일정하다면 열전도도k와 온도차이 △T는 반비례한다. 컴퓨터의 CPU처럼 온도를 최대한 낮추어야 하는 경우를 생각해보자. 

 

외부온도 T2와 내부온도T1의 온도차이가 작아지려면, 즉 △T가 작아지려면 열전도도k는 커져야한다. 따라서, 열전도도k가 높은 좋은 물질을 사용해야 최대한 온도변화를 줄일 수 있는 것이다.

 

 

대표적인 물질들의 열전도도

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공기 열전도도, air heat conductivity = 0.023

물 열전도도, water heat conductivity = 0.613

구리 열전도도, water heat conductivity = 401

은 열전도도, water heat conductivity = 429

다이아몬드 열전도도, water heat conductivity = 2300

 

흥미로운 점은 열전도도가 높은 물질은 일반적으로 비싸다는 것입니다. 우리가 흔히 사용하는 구리의 경우 높은 열전도도를 가지는 물질 중 비교적 싼편에 속합니다.

 

 

고체의 열전도도, Heat conductivity for solid materials

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고체의 열전도도는 자유 전자(Free Electrons)에 의해 생기는 열전도도 k_e와 Lattice wave, 혹은 Phonon wave라 불리는 입자의 진동에 의해서 생기는 열전도도 k_phonon의 합으로 이루어집니다.

 

만약 Lattice wave나 Phonon wave를 잘 모르시겠으면 앞선 포스트를 참고하시기 바랍니다.

열전달 방법, 전도, 대류, 복사

 

Metal, 금속 열전도도

금속의 열전도도는 자유전자에 의한 영향이 크다.

Alloy, 합금 열전도도

합금의 열전도도는 자유전자에 의한 영향과 입자진동에 의한 영향이 비슷하다.

Nonmetal, 비금속 열전도도

비금속의 열전도도는 입자진동에 의한 영향이 크다

 

 

분자 운동론과 열전도도, Kinetic theory and Heat conductivity

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분자운동론(Kinetic theory)을 이용하여 열전도도를 나타내면 위와같이 나타낼 수 있다.

 

C = electron specifit heat per unit volume 또는 electron heat capacity per unit volume 즉, 단위 부피당 전자의 비열을 의미합니다.

 

c = 음속, 즉 온도에 의해 영향을 받습니다.

 

λ_mfp = mean free path, 평균 자유 행로는 입자가 연속적으로 충돌할 때 이동하는 평균 거리를 의미합니다. 물질마다 다른 값을 가집니다.

 

 

푸리에 열전도 법칙 좌표계 표현

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이 푸리에 열전도 법칙을 좌표계(Coordinate)로 나타내게 되면 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 이 식은 일반적(General)인 표현 방법입니다. 온도 T가 x,y,z에 의한 함수 T(x,y,z)로 나타내집니다.

만약, 일반적인 좌표계가 아닌 원통 좌표계(Cylindrical Coordinates)로 나타낸다면 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 온도 T가 x,θ,z에 의한 함수 T(x,θ,z)로 나타내집니다.

이때 유의할 점은 θ항의 경우 θ가 무차원 수 이므로 1/r을 곱해준 것을 볼 수 있습니다.