열전도 방정식 유도, Heat Conduction Equation Derivation

열확산 방정식(Heat diffusion equation)은 열전도 방정식(Heat conduction equation)과 같은 방정식입니다. 왜냐하면 열이 확산하는 것이 바로 전도이기 때문입니다.

 

열전도 방정식의 이해를 위해서는 연속방정식(Continuity equation)에 대한 이해가 선행되어야 합니다.

 

연속방정식 유도와 열전도방정식, continuity equation derivation and heat conduction equation

연속방정식 유도와 열전도방정식, continuity equation derivation and heat conduction equation

 

 

열전도 방정식, Heat conduction equation

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육면체의 변의 길이를 가로 dx 세로 dy 높이 dz라 하고, 아래의 그림과 같이 에너지가 들어오고 나간다고 가정해보겠습니다.

 

이때, 들어가는 에너지와 나오는 에너지, 그리고 그 외의 에너지에 대해서 생각해보겠습니다.

 

 

열전도 방정식 유도, Heat Conduction Equation Derivation

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우선 열전도 방정식의 각 항(term)을 구해보겠습니다.

 

1. In 들어가는 에너지

 

2. Out 나오는 에너지

 

3. Energy Source, 생성되는 에너지

에너지 생성(Energe generation)이라고도 하며 dot_q는 단위 시간당 단위부피에서 생성되는 열에너지를 뜻합니다. 따라서 부피 dx*dy*dz를 곱해주어 단위시간당 전체 부피에서 생성되는 에너지를 표현한 것입니다.

 

4. Energe storage, 시간에 따른 시스템의 에너지 변화

육면체를 하나의 시스템으로 보았을 때 시간에 따라 변화하는 전체 시스템의 에너지는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

밀도*정압 비열*시간에 따른 온도 변화*부피 꼴로 나타나며 시간에 따른 전체 시스템의 에너지 변화를 나타낸 것입니다. 납득이 되지 않는다면 단위를 곱해보시면 아실 수 있습니다.

[kg/m^3]*[kJ/kg*K]*[K/t]*[m^3] = kW

 

 

에너지 보존 법칙, Energy conservation law

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위 식은 에너지 보존 법칙(Energy conservation law) 즉, Energy balance에 의한 식입니다.

1. 들어오는 에너지 - 2. 나가는 에너지 + 3. 생성되는 에너지 = 4. 시간에 따른 시스템의 에너지 변화

 

앞서 구한 항들을 대입해 보겠습니다.

정리하면, 아래 식과 같이 구할 수 있습니다.

 

여기서 이제 푸리에 열전도 법칙(Fourier's law), 픽의 확산 법칙(Fick's law)을 적용하면 q_x, q_y, q_y는 다음과 같습니다.

푸리에 열전도 법칙을 잘 모르시겠다면 이전 포스트를 참고하시기 바랍니다.

 

푸리에 열전도 법칙, 열유속과 열전도도, Fourier's law, Heat flux and Heat conductivity

푸리에 열전도 법칙, 열유속과 열전도도, Fourier's law, Heat flux and Heat conductivity

 

대입해서 정리하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

모든 항에서 dx*dy*dz를 소거하면 다음과 같은 결론을 얻을 수 있습니다.

 

 

일반 열전도 방정식, General conduction equation

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일반적으로 열전도도(Heat conductivity) k는 일정합니다. 열전도도는 물질의 특성이기 때문에 하나의 문제에서 하나의 물질을 다루는 이상 일정한 경우가 많습니다.

 

열전도도 k가 일정한 열전도 방정식을 생각해보겠습니다. k가 일정하다는 것은 k가 상수(constant value)라는 의미이므로 미분항에서 꺼낼 수 있게 됩니다.

바로 이 식을 우리는 일반 열확산 방정식(General heat diffusion equation)이라고 부릅니다. 다른 말로 일반 전도 방정식(General conduction equation)이라고 부르기도 합니다.