열전도 방정식 경계조건, Heat Conduction Boundary Condition

미분방정식인 열전도 방정식을 풀이하기 위해서는 경계조건(Boudary condition)과 시작조건(Initial condition)이 필요합니다.

 

경계조건과 시작조건의 개수는 열전도 방정식의 차원(Dimension)에 따라 달라집니다. 3차 방정식은 x, y, z에 대하여 각각 2개씩의 B.C와 t에 대한 1개의 I.C가 필요합니다. 일반적으로 손으로 푸는 한계는 1차, 2차 열전도 방정식 까지입니다.

 

 

열전도 방정식 경계조건의 종류

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1. 일정한 표면 온도, Constant surface temperature

즉, x=0일 때, 시간 t와 관계없이 온도가 일정한 조건을 말한다.

Ex) x=0, T=10℃

 

2. 일정한 열유속, Constant heat flux

푸리에 열전도 법칙에 의해서 구할 수 있는 열유속이 일정할 때의 조건을 사용할 수 있다.

푸리에 열전도 법칙을 모르겠다면 이전 포스트를 참고하시기 바랍니다.

 

푸리에 열전도 법칙, 열유속과 열전도도, Fourier's law, Heat flux and Heat conductivity

푸리에 열전도 법칙, 열유속과 열전도도, Fourier's law, Heat flux and Heat conductivity

 

3. 단열, Adiabatic or insulated surface

단열, 절연일 때 표면을 통한 열의 이동이 없기 때문에 2번식에서 열유속이 0이라고 생각하면 된다.

4. 대류와 전도의 균형, Same convection and conduction

전도와 대류 두 에너지 전달이 균형을 이룰 때의 조건을 사용할 수 있다.

 

 

열전도 방정식 풀이 조건

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일반 열전도 방정식의 문제해결에는 많은 조건이 필요하기 때문에 손으로 풀 수 있는 문제를 만들기 위해 다양한 조건을 걸게 됩니다.

 

1. 정상 상태, Steady state

시간에 따른 열에너지 생성 항이 없어지며 시간에 따른 에너지 변화 항이 없어집니다.

 

2. 열생성 없음, no heat generation

열생성이 없으므로 시간에 따른 열에너지 생성 항이 소거됩니다.

 

3. 2차원, Two dimension

일반적으로 저희가 손으로 해결할 수 있는 형태이기 때문에 가장 문제로 자주 출제 됩니다.

풀이방법은 k항을 소거한 후 라플라스 방정식(Laplace equation)을 사용하여 해결할 수 있습니다.

 

 

원통좌표계 열전도방정식, Cylindrical heat conduction equation

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원통좌표계(Cylindrical coordinate)에서의 열전도방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

실제 문제풀이시에는 Φ(phi)항은 소거합니다. 왜냐하면 원통좌표계의 특징에서 기인하는데 원통은 대칭적(symmetrical)이기 때문에 Φ항을 소거할 수 있습니다.

 

 

연속방정식 유도와 열전도방정식, continuity equation derivation and heat conduction equation

연속방정식 유도와 열전도방정식, continuity equation derivation and heat conduction equation

 

열전도 방정식 유도, Heat Conduction Equation Derivation

열전도 방정식 유도, Heat Conduction Equation Derivation